Задачи на работу по плану

« Задачи на смеси и сплавы Задачи на грузоподъемность »

Задачи на работу по плану

Задачи на работу из курса алгебры 8-9 классов начнем с рассмотрения задач, которые можно назвать задачами на работу по плану (задачи на планирование). Задачи на работу по плану — это задачи, в которых работа должна была быть выполнена за определенное время, но из-за изменения производительности труда это время изменилось.

Как и в других задачах на работу, производительность труда, время работы и объем работы связаны соотношением:

Условие задач на работу по плану удобно оформить с помощью таблицы. Решение существенно упрощается, если ввести две переменные, и в ходе решения системы уравнений выполнить одно несложное преобразование. В этом случае задача сводится к рассмотрению не дробного рационального, а более простого квадратного уравнения.

В общем виде оформление задач на работу по плану можно представить следующим образом:

	Время работы	Производительность труда	Объем работы
по плану	x	y	с
фактически	x+a	y — b	с

Приходим к системе уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l}xy = c\\(x + a)(y - b) = c\end{array} \right.$

При раскрытии скобок во втором уравнении получаем одно из слагаемых xy. Из первого уравнения xy=c. Поэтому заменяем во втором уравнении xy на с:

$\left\{ \begin{array}{l}xy = c\\xy - bx + ay - ab = c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = c\\c - bx + ay - ab = c\end{array} \right.$

В результате упрощения второе уравнение становится линейным. Выражаем из него одну переменную через другую, подставляем полученное выражение в первое уравнение и решаем квадратное уравнение.

Следует добавить, что при составлении условия стоит сразу обозначить, значение какого из четырех выражений с переменной мы ищем.

Примеры решения задач на работу по плану.

1) Тракторист должен был вспахать поле площадью 200 га. Каждый день он пахал на 5 га больше, чем планировал, а поэтому закончил работу на 2 дня раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?

Решение:

Пусть по плану тракторист должен был работать x дней и каждый день пахать y га.

Время работы

Производительность труда

Объем работы

по плану

200

фактически

(x-2) — ?

y + 5

200

Составляем систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 200\\(x - 2)(y + 5) = 200\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 200\\xy - 2y + 5x - 10 = 200\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 200\\200 - 2y + 5x - 10 = 200\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 200\\ - 2y + 5x - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x(2,5x - 5) = 200\\y = 2,5x - 5\end{array} \right.$

Пришли к квадратному уравнению

$2,5{x^2} - 5x = 200, \Rightarrow {x^2} - 2x - 80 = 0$

Его корни

${x_1} = 10,{x_2} = - 8$

Второй корень не подходит по смыслу задачи (так как время не может быть отрицательным числом). Значит, фактически тракторист вспахал поле за 10-2=8 дней.

Ответ: за 8 дней.

2) Ученик должен был за определенное время решить 80 задач. Но он решал ежедневно на две задачи больше, чем планировал, а поэтому закончил работу на 2 дня раньше намеченного срока. Сколько задач в день решал ученик?

Решение:

Пусть по плану ученик должен был за x дней выполнить задание, решая каждый день по y задач.

	Время работы	Производительность труда	Объем работы
по плану	x	y	200
фактически	x-2	(y + 2) — ?	200

Составим и решим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 80\\(x - 2)(y + 2) = 80\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 80\\xy - 2y + 2x - 4 = 80\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 80\\80 - 2y + 2x - 4 = 80\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 80\\ - 2y + 2x - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x(x - 2) = 80\\y = x - 2\end{array} \right.$