« »

Рубрика: Подобие треугольников

Задачи на подобие треугольников

Рассмотрим некоторые задачи на подобие треугольников.

I. В треугольнике проведен отрезок, параллельный стороне. Концы отрезка лежат на других сторонах треугольника.

в треугольнике проведен отрезок, параллельный стороне

 

Рассмотрим треугольники ABC и A1BC1.

 

 

 

 

Решать задачи на подобие треугольников удобнее, используя цветовую визуализацию, поэтому выделим данные треугольники разными цветами:

в треугольнике отрезок параллелен стороне и пересекает другие стороны

1) ∠B — общий;

2)∠ BAC=∠BA1C1 (как соответственные углы при AC∥A1C1 и секущей AB).

Следовательно, треугольники ABC и A1BC1 подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}B}} = \frac{{BC}}{{B{C_1}}}.\]

 

Задача

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А1, а сторону ВС — в точке В1. Найти длину отрезка А1С1, если АС=35,  АА1: А1В=2:5.

Решение:

Доказываем подобие треугольников ABC и A1BC1. 

    \[AB = A{A_1} + {A_1}B,\frac{{A{A_1}}}{{{A_1}B}} = \frac{2}{5}, \Rightarrow \frac{{AB}}{{{A_1}B}} = \frac{7}{5}\]

    \[\frac{{AB}}{{{A_1}B}} = \frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}},\frac{7}{5} = \frac{{35}}{{{A_1}{C_1}}}, \Rightarrow {A_1}{C_1} = \frac{{35 \cdot 5}}{7} = 25\]

Ответ: 25.

II. В треугольник вписан ромб.

в треугольник вписан ромб так, что один угол у них - общий

Рассмотрим треугольники  AFK и BFC.

 

 

 

 

 

Выделим данные треугольники в цвете.

ромб вписан в треугольник так, что у них один угол - общий

1) ∠F — общий;

2)∠ FAK=∠FBC (как соответственные углы при AD∥BC и секущей AB).

Следовательно, треугольники AFK и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

    \[\frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{FK}}{{FC}}.\]

 

Задача.

В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, в вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если AF=21 см, AK=24 см.

Решение.

Доказываем подобие треугольников AFK и BFC. Из трех соотношений выбираем те, в которых нам что-либо известно:

    \[\frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{AF}}{{BF}}, \Rightarrow \frac{{24}}{{BC}} = \frac{{21}}{{BF}}.\]

Примем сторону ромба за x:

    \[AB = AD = BC = x{\rm{ cm}}\]

Тогда BF=AF-AB=21-x см. Отсюда

    \[\frac{{24}}{x} = \frac{{21}}{{21 - x}}, \Rightarrow 21x = 24(21 - x)\]

Разделив обе части уравнения на 3, получаем:

    \[7x = 8(21 - x)\]

    \[7x + 8x = 168\]

    \[15x = 168\]

    \[x = 11,2\]

Ответ: 11,2 см.

В следующий раз рассмотрим задачи на подобные треугольники в трапеции.


Ваш отзыв , 27 Ноя 2013

Ваш отзыв