Задача.
Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n=14?
б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n=19?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n=24?
Решение:
Пусть в кошельке у Ани лежало m монет по 2 рубля, l монет по 5 рублей и k монет по 10 рублей. Тогда m+l+k=n.
Общая сумма денег в кошельке 2m+5l+10k рублей.
а) Если n=14, покупки состоят из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, Аня потратила в общей сумме 56+29=85 рублей.
Получаем систему уравнений:
![\[ \left\{ \begin{array}{l} m + l + k = 14, \\ 2m + 5l + 10k = 85. \\ \end{array} \right. \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d10759ea9aa64e309cf7822b9a57981_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Система неразрешима, поскольку количество неизвестных превышает количество уравнений. Но дополнительные условия на переменные (по смыслу задачи m, l, k — натуральные числа либо 0) позволяют сделать некоторые выводы о возможных значениях m, l и k.
Умножим первое уравнение системы на -2 и сложим со вторым:
![\[ + \frac{{\left\{ \begin{array}{l} - 2m - 2l - 2k = - 28, \\ 2m + 5l + 10k = 85, \\ \end{array} \right.}}{{3l + 8k = 57}} \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-445dafba27b9ecd558b2cf420510cf8b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Отсюда
![\[ l = \frac{{57 - 8k}}{3}. \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1db6652acfa7fc3974d34541098f6ae6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
По смыслу задачи 57-8k≥0 и кратно 3.
Первому условию удовлетворяют k≤7. Перебираем k.
При k=7 l∉N;
при k=6 l=3. В этом случае m=14-(6+3)=5.
То есть 5 монет по 2 рубля, 3 монеты по 5 рублей и 6 монет по 10 рублей.
Проверяем, можно ли совершить покупки без сдачи.
56 рублей=5·10 рублей+3·2 рубля, осталось 1·10 рублей+3·5 рублей+2·2 рубля=29 рублей. Да.
а) Ответ: да. Например,
56 рублей=5·10 рублей+3·2 рубля, 29 рублей= 1·10 рублей+3·5 рублей+2·2 рубля.
б) n=19, общая сумма покупок 10+15+20=45 рублей.
![\[ \left\{ \begin{array}{l} m + l + k = 19, \\ 2m + 5l + 10k = 45. \\ \end{array} \right. \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06f72e1576f2de1d11cdf22bf102ee18_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Первое уравнение умножим на -2 и сложим со вторым:
![\[ 3l + 8k = 7,l = \frac{{7 - 8k}}{3}. \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0132af31445b9a0dd5a09703e11d0d0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ни при одном натуральном k или при k=0 число (7-8k)/3 не может принимать натуральное значение.
б) Ответ: нет.
в) n=24, общая сумма покупок — 85 рублей.
![\[ \left\{ \begin{array}{l} m + l + k = 24, \\ 2m + 5l + 10k = 85. \\ \end{array} \right. \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e005aa1662444afa7dadaedad87b5e41_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Первое уравнение системы умножим на -2 и сложим со вторым. Получаем
![\[ 3l + 8k = 37,l = \frac{{37 - 8k}}{3}. \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6707904641f180365d4bebacfa82a16_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
l принимает наименьшее значение при наибольшем возможном значении k. По смыслу задачи 37-8k≥0 и кратно 3.
При k=4 l∉N;
при k=3 l∉N;
при k=2 l=7, m=24-(2+7)=15.
Следовательно, наименьшее количество пятирублевых монет, которое могло быть в кошельке — 7.
в) Ответ: 7.