Рассмотрим задания, в которых дан график функции y=f(x), отмечены четыре точки и требуется определить, в какой из этих точек значение производной f'(x) наибольшее.
№1
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -4, -1, 2 и 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе указать эту точку.
Решение:
Точки x=-4 и x=2 принадлежат промежуткам возрастания функции y=f(x), поэтому производная f'(x) в этих точках принимает положительные значения:
f'(-4)>0 и f'(2)>0.
Точки x=-1 и x=4 принадлежат промежуткам убывания функции, поэтому значение производной в этих точках отрицательно:
f'(-1)<0 и f'(4)<0.
Любое положительное число больше любого отрицательного.
Остаётся выяснить, какое из значений больше: f'(-4)или f'(2)?
1 способ
Производная характеризует скорость изменения функции. На промежутке, которому принадлежит точка x=-4, функция растёт быстрее, чем на промежутке, где лежит точка x=2.
Следовательно, f'(-4)>f'(2).
Таким образом, из данных четырёх точек наибольшее значение производная достигает в точке x=-4.
2 способ
Значение производной функции в точке равно тангенсу угла, который касательная, проведённая в этой точке, составляет с положительным направлением оси Ox.
Проведём касательные в точках x=-4 и x=2.
Касательные образуют с положительным направлением оси абсцисс углы α и β.
Если α1>α2, то tg(α1)>tg(α2).
Так как β>α, то f'(-4)>f'(2).
Ответ: -4.
№2
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -7, -4, 7 и 9. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответ указать эту точку.
Решение:
x=-4 — точка максимума функции, поэтому f'(-4)=0.
Точка x=9 принадлежит промежутку убывания функции, поэтому f'(9)<0.
Точки x=-7 и x=7 принадлежат промежуткам возрастания функции, поэтому f'(-7)>0 и f'(7)>0.
На промежутке, которому принадлежит точка x=-7, функция возрастает быстрее, чем на промежутке, где находится точка x=7.
Поэтому f'(-7)>f'(7).
Следовательно, значение производной наибольшее в точке x=-7.
Ответ: -7.