Прежде чем разобрать задачи, повторим признаки подобия треугольников и свойства подобных треугольников.
Для доказательства подобия произвольных треугольников в школьном курсе используют три признака.
I. Признак подобия треугольников по двум углам.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
II. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
III. Признак подобия треугольников по трем сторонам.
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признак подобия прямоугольных треугольников
Для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному острому углу.
Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов и пропорциональность сторон:
Периметры подобных треугольников пропорциональны:
![\[\frac{{{P_{\Delta ABC}}}}{{{P_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = \frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k,\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-562ee79a3b4da792f5214dcabb44fa50_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
k — коэффициент подобия.
Все линейные размеры подобных треугольников также пропорциональны, то есть отношение соответствующих биссектрис, высот, медиан также равно k.
Углы между соответствующими линиями подобных треугольников равны.
Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:
![\[\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{{\Delta _1}A{B_1}{C_1}}}}} = \frac{{{P^2}_{\Delta ABC}}}{{{P^2}_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}} = \frac{{A{B^2}}}{{{A_1}{B_1}^2}} = \frac{{A{C^2}}}{{{A_1}{C_1}^2}} = \frac{{B{C^2}}}{{{B_1}{C_1}^2}} = {k^2}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9ef37fce5b44d4d8f0fb25955e1eec7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")