Призма вписана в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара (на сфере). В этом случае также говорят, что шар описан около призмы (или сфера описана около призмы).
Призма может быть вписана в шар тогда и только тогда, когда
1) призма прямая;
2) около ее основания можно описать окружность.
Отсюда следует, что в шар может быть вписана прямая треугольная призма, правильная призма.
Поскольку четырехугольник может быть вписан в окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º, то прямая четырехугольная призма может быть вписана в шар только при выполнении этого условия.
В частности, из параллелепипедов описать шар можно только около прямоугольного параллелепипеда. Центр шара в этом случае — точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
В общем случае центр описанного около призмы шара лежит на середине высоты призмы, проходящей через центры описанных около ее оснований окружностей. Центр описанного шара может находиться внутри призмы, вне призмы а также на ее боковой грани.
Например, для треугольной призмы, в которой угол ABC — прямой, центр описанного шара лежит на боковой грани, на высоте, соединяющей середины гипотенуз в основаниях призмы.
Если угол ABC — тупой, то центр описанного около треугольной призмы шара находится вне призмы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOO1. O1O2=H — высота призмы, AO=R — радиус шара, AO1=r — радиус окружности, описанной около основания призмы. По теореме Пифагора