Узнать ещё

Как определить точки экстремума на графике функции?

Точки экстремума — это точки минимума и точки максимума функции.

Точка x_o называется точкой минимума функции f(x), если для любого x из некоторой окрестности x_o выполняется неравенство f(x_o)<f(x).

Примеры точек минимума на графике функции.

1)Точка минимума x_o имеет вид гладкой «впадины».

Производная в такой точке равна нулю:

f'(x_o)=0

Касательная к графику функции, проведённая в точке x_o, параллельна оси абсцисс.

Читать полностью »

Рассмотрим задания из №6 ЕГЭ, в которых по графику функции требуется определить точки, в которых производная положительна либо отрицательна.

№1

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂ ,x₃, x₄, … , x₈. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответе укажите количество найденных точек.

Читать полностью »

Рассмотрим задания, в которых по графику данной функции и касательной к нему в точке x_о требуется найти значение другой функции в точке x_о.

№1

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x_о. Уравнение касательной показано на рисунке. Найти значение производной функции g(x)=5f(x)-10x+9 в точке x_о.

Решение:

Осталось найти значение производной f'(x_о).
Угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x), проведённой в точке с абсциссой x_о, равен значению производной в точке касания: k=f'(x_о).

По условию, k=0,4. Поэтому f'(x_о)=0,4.

Читать полностью »

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_о. Найти значение производной функции y=f'(x)в точке x_о.

№1

Решение:

1-й способ

Значение производной y=f'(x) в точке x_о равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке x_о:

f'(x_о)=k.

На графике касательной ищем две выделенные точки с целыми координатами (иногда координаты этих точек уже подписаны):

A(-2;-5), B(6;5).

Читать полностью »

В школьной геометрии касательная к окружности определяется как прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания.

В высшей математике касательная, проведённая в точке M — это предельное положение секущей MN.

Читать полностью »

Угловой коэффициент прямой y=kx+b  равен k.

Почему число k называется угловым коэффициентом?

Графиком линейной функции y=kx+b является прямая. С положительным направлением оси абсцисс эта прямая составляет угол α.

Утверждение:

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Доказательство:

Читать полностью »