Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Если в задача дана окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, в ее решении могут быть использованы свойства касательных и свойство биссектрисы треугольника.

Замечание.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Поскольку в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой, то центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности лежит на высоте и медиане, проведенных к основанию.

Рассмотрим две задачи на вписанную в равнобедренный треугольник окружность.

Задача 1.

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Дано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

F, K, M, — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AM:MC=8:9, r=16 см.

Найти:

${S_{\Delta ABC}}$

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AM=8k см, MC=9k см.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AF=AM=8k см, CK=MC=9k см.

Так как AC=BC, то BK=AM и BF=BK=8k см.

3) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Так как ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB, то CF — высота, медиана и биссектриса ∆ ABC.

4) Рассмотрим треугольник AFC.

∠AFC=90, AF=8k см, AC=AM+MC=17k см.

По свойству биссектрисы треугольника:

$\frac{{AC}}{{CO}} = \frac{{AF}}{{OF}}.$

OF=r. Пусть CO=x см, тогда

$\frac{{17k}}{x} = \frac{{8k}}{{16}}$

$x = \frac{{17k \cdot 16}}{{8k}}$

$\underline {x = 34}$

CO=34 см, CF=CO+OF=34+16=50 см.

По теореме Пифагора:

$A{C^2} = A{F^2} + C{F^2}$

${(17k)^2} = {(8k)^2} + {50^2}$

$225{k^2} = {50^2}$

$15k = 50$

$k = \frac{{50}}{{15}} = \frac{{10}}{3}.$

Таким образом,

$AF = 8 \cdot \frac{{10}}{3} = \frac{{80}}{3}cm.$

$5){S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF = AF \cdot CF,$

$5){S_{\Delta ABC}} = \frac{{80}}{3} \cdot 50 = \frac{{4000}}{3} = 1333\frac{1}{3}(c{m^2}).$

Ответ: 1333 1/3 кв.см.

Задача 2.

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:4. Найти периметр треугольника, если боковая сторона меньше основания на 15 см.

вписанная в равнобедренный треугольник окружность Дано: ∆ ABC, AC=BC,