« »

Рубрика: Метод интервалов

Как решать неравенства методом интервалов

Рассмотрим, как решать неравенства методом интервалов, на конкретных примерах.

    \[1)(2x - 14)(5x + 25) \ge 0\]

Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

    \[(2x - 14)(5x + 25) = 0\]

    \[2x - 14 = 0,x = 7\]

    \[5x + 25 = 0,x = - 5.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

как решать неравенства методом интервалов

Для проверки знака берем 0 (желательно на числовой прямой отметить взятую точку, чтобы потом не забыть, куда ставить знак). Подставляем 0 в последнее неравенство: (2∙0-14)(5∙0+25)= -14∙25, то есть (-)∙(+)= -. Таким образом, в промежуток, из которого взяли нуль, ставим знак «-«, остальные знаки чередуем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

Ответ:

    \[x \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {7;\infty } \right).\]

    \[2)\frac{{(3x - 2)(4x - 32)}}{{5x + 30}} \le 0.\]

Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{(3x - 2)(4x-32)}}{{5x + 30}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(3x - 2)(4x-32) = 0,\\5x + 30 \ne 0,\end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3},x = 8,\\x \ne - 6.\end{array} \right.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

Для проверки знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. По знакам получаем:

    \[\frac{{( - ) \cdot ( - )}}{ + } = + .\]

В промежуток, которому принадлежит 0, ставим «+», остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≤0, в ответ выбираем промежутки со знаком «-«. (Не забываем, когда точки закрашенные, а когда — выколотые. Те точки, в которых знаменатель обращается в нуль, выколотые всегда).

Ответ:

    \[x \in \left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left[ {\frac{2}{3};8} \right].\]

    \[3)\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{{x^2} + 3x - 18}} \ge 0.\]

Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{{x^2} - 4x - 12}}{{{x^2} + 3x - 18}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 12 = 0,\\{x^2} + 3x - 18 \ne 0.\end{array} \right.\]

По теореме, обратной теореме Виета

    \[\left\{ \begin{array}{l}x = 6,x = - 2,\\x = - 6,x = 3.\end{array} \right.\]

Полученные точки отмечаем на числовой прямой: метод интервалов, пример

Для определения знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. Получает (-)/(-)=(+). Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

Ответ:

    \[x \in \left( { - \infty ; - 6} \right) \cup \left[ { - 2;3} \right) \cup \left[ {6;\infty } \right).\]

    \[4)\frac{{2{x^2} - 9x + 25}}{{9 - x}} < 2 - x.\]

Переносим все слагаемые в левую часть, приводим к наименьшему общему знаменателю и упрощаем: 

    \[\frac{{2{x^2} - 9x + {{25}^{\backslash 1}}}}{{9 - x}} - {2^{\backslash (9 - x)}} + {x^{\backslash (9 - x)}} < 0\]

    \[\frac{{2{x^2} - 9x + 25 - 2(9 - x) + x(9 - x)}}{{9 - x}} < 0\]

    \[\frac{{2{x^2} - 9x + 25 - 18 + 2x + 9x - {x^2}}}{{9 - x}} < 0\]

    \[\frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{9 - x}} < 0.\]

После упрощения решаем неравенство методом интервалов.

Приравниваем к нулю левую часть:

    \[\frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{9 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 7 = 0,\\9 - x \ne 0,\end{array} \right,\]

    \[\left\{ \begin{array}{l}D < 0,\emptyset \\x \ne 9.\end{array} \right.\]

Точек, в которых числитель обращается в нуль, нет. На числовой прямой отмечаем только одну точку:

Для проверки берем нуль. Подставляя его в последнее неравенство, получаем «+». На другом интервале — «-«. Нам нужен интервал с «-«.

Ответ:

    \[x \in \left( {9;\infty } \right).\]

Как решать более сложные неравенства методом интервалов, рассмотрим в следующий раз.

15 комментариев , 01 Сен 2013

15 комментариев на «Как решать неравенства методом интервалов»

  1. Milinik(moscow):
    27.10.2014 в 9:05 пп

    Спасибо за данную информацию! Хорошие примеры. Наконец разобралась в этой теме. Благодарю!

    Ответить
  2. Макс:
    15.03.2015 в 5:41 дп

    Спасибо

    Ответить
  3. Ширик:
    26.01.2016 в 1:32 пп

    Рил спасибо , сложно найти хорошие темы по математике с обьяснениями
    Побольше бы таких

    Ответить
  4. сЮМИНА:
    05.04.2016 в 4:17 пп

    спасибо теперь я поняла и могу решать все типы таких примеров)

    Ответить
  5. Рамиля:
    11.04.2016 в 9:25 пп

    Спасибо огромное!Помогли!

    Ответить
  6. Рамиля:
    11.04.2016 в 9:30 пп

    Спасибо вам большое!

    Ответить
  7. Gatex:
    17.10.2016 в 8:47 пп

    спасли огромное спасибо

    Ответить
  8. Дарья:
    30.10.2016 в 6:04 пп

    Спасибо! Наконец я нашла нормальное объяснение.

    Ответить
    • Светлана Иванова:
      30.10.2016 в 8:35 пп

      Спасибо, Дарья!
      Постараюсь найти время, чтобы подкорректировать теорию (всё же модуль в «петли» нужно добавить) и продолжить разбор примеров, решаемых методом интервалов.

      Ответить
  9. Денис:
    01.12.2016 в 9:50 пп

    Спасибо большое. Не мог понять когда ставятся круглые, а когда квадратные скобки и как определить нужный промежуток.
    Очень помогли!

    Ответить
  10. георгий:
    11.03.2017 в 10:00 дп

    наконец-то дошло,откуда берутся выколотые точки! Спасибо!

    Ответить
  11. игорь:
    14.09.2017 в 8:15 пп

    какого в гдз тогда при решении методом интервалом шахматная постановка не работает?

    Ответить
    • Светлана Иванова:
      14.09.2017 в 9:03 пп

      Игорь, чередование в шахматном порядке работает, если применять «петли» (то есть при переходе через некоторые точки знак не меняется). Надо еще 4й случай добавить, когда корень стоит под знаком модуля, в нем тоже «петля». Пока что руки не доходят.

      Ответить
  12. Мерида:
    15.09.2017 в 7:22 пп

    Большое спасибо. Вы очень помогли. Огромная благодарность и уважение

    Ответить

Ваш отзыв