Рассмотрим примеры, в которых дан график производной и требуется определить, в какой точке данного отрезка функция принимает наименьшее значение.
№1
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-10;8). В какой точке отрезка [-8;-1] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Решение:
Выделяем отрезок [-8;-1].
На этом отрезке производная f'(x) принимает положительные значения.
Значит, на [-8;-1] функция f(x) возрастает, то есть бо́льшему значению аргумента соответствует бо́льшее значение функции:
x1,x2 ∈[-8;-1], x2>x1, ⇒ f(x2)>f(x1).
Следовательно, наименьшее значение f(x) принимает при наименьшем значении аргумента, то есть на левом конце отрезка, при x=-8.
Ответ: -8.
№2
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-6;8). В какой точке отрезка [-3;6] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Решение:
Выделяем отрезок [-3;6].
На этом отрезке f'(x)<0, поэтому f(x) убывает, то есть бо́льшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
x1,x2 ∈[-3;6], x2>x1, ⇒ f(x2)<f(x1).
Поэтому наименьшее значение функция f(x) в этом случае принимает при наибольшем значении аргумента, то есть на правом конце отрезка, при x=6.
Ответ: 6.
№3
Функция y=f(x) определена на промежутке (-9;6). На рисунке изображён график её производной. Найти абсциссу точки, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение.
Решение:
В точке с абсциссой x=2 производная меняет знак с минуса на плюс.
Значит, x=2 — точка минимума.
Производная f'(x) существует на всём интервале (-9;6), следовательно, функция f(x) на (-9;6) непрерывна.
Если непрерывная функция f(x) имеет на заданном интервале (a;b) только одну точку экстремума xo и это точка минимума, то на (a;b) функция принимает своё наименьшее значение в точке xo.
Таким образом, наименьшее значение функция f(x) принимает в точке с абсциссой x=2.
Ответ: 2.
№4
Функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [-4;9]. На рисунке изображён график её производной. Найти точку xo, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(9)≤f(-4).
Решение:
На промежутках (-4;-3) и (2;9) производная f'(x) принимает положительные значения, поэтому функция f(x) на этих промежутках возрастает.
На промежутке (-3;2) производная f'(x)<0, поэтому функция f(x) убывает.
Так как функция определена и непрерывна на отрезке [-4;9], то точки -4, -3, 2 и 9 можно включить в промежутки монотонности.
Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутках [-4;-3] и [2;9] и убывает на [-3;2].
На промежутках возрастания своё наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка. На отрезке [2;9] наименьшее значение f(x) принимает в точке x=2 (точке минимума), на [-4;-3] — в точке x=-4.
Так как на [2;9] функция f(x) возрастает, то f(2)<f(9).
По условию, f(9)≤f(-4). Значит, f(2)<f(-4).
Таким образом, наименьшее значение функция f(x) принимает в точке x=2.
Ответ: 2.