« »

Рубрика: Метод интервалов

Метод интервалов. Примеры

Продолжаем рассматривать метод интервалов. Примеры, в которых в ходе решения квадратного уравнения получаем дискриминант, равный нулю — следующие.

    \[1){x^2} - 6x + 9 \ge 0.\]

Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

    \[{x^2} - 6x + 9 = 0.\]

Ищем дискриминант:

    \[D = {b^2} - 4ac = {( - 6)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0.\]

Поскольку дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень:

    \[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{6}{{2 \cdot 1}} = 3.\]

В точке x=3 на числовой прямой — «петля»:

Неравенство нестрогое, точка — закрашенная. Знак неравенства — больше либо равно, поэтому нам нужны промежутки с «+». Ответ:

    \[x \in ( - \infty ;\infty ).\]

    \[2){x^2} - 6x + 9 > 0.\]

От предыдущего неравенства это отличается только тем, что является строгим. Соответственно, точка x=3 — выколотая, и в ответ ее не включаем:

Ответ:

    \[\begin{array}{l}x \in ( - \infty ;3) \cup (3;\infty ).\\\end{array}\]

    \[3){x^2} - 6x + 9 \le 0.\]

Поскольку знак неравенства — меньше либо равно, нам нужны промежутки с «-»  а их нет. Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в ответ. Здесь такая точка есть —  x=3 (напоминаю, знак в петле — «виртуальный», на самом деле при x=3 выражение, стоящее в правой части,  равно нулю, а нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом).

Ответ:

    \[\left\{ 3 \right\}.\]

    \[4){x^2} - 6x + 9 < 0.\]

Здесь нет ни одной точки удовлетворяющей условию неравенства.

Ответ:

    \[\emptyset .\]

    \[5)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} \le 0.\]

Приравниваем к нулю левую часть. Получаем:

    \[\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5;\\x \ne - 3;x \ne 6.\end{array} \right.\]

Поскольку в ходе решения уравнения x²-10x+25=0 получили дискриминант, равный нулю, в соответствующей точке x=5  — «петля». Отмечаем полученные точки на числовой прямой:

metod intervalov

Знак неравенства — меньше либо равно, поэтому выбираем промежутки со знаком «-«. Точка х=5 — закрашенная, поэтому ее включаем в ответ (то есть разрывать промежуток от -3 до 6 не нужно).

Ответ: х∈(-3;6).

    \[6)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} < 0.\]

От предыдущего примера данный отличается только тем, что неравенство — строгое. Соответственно, все точки выколотые и в ответ х=5 уже не входит (промежуток от -3 до 6 разбивается на два).

примеры решения метода интервалов решени

Ответ: х∈(-3;5)U(5;6).

    \[7)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} \ge 0.\]

Здесь выбираем промежутки с «+». Отдельно стоящую закрашенную точку также включаем в ответ:

метод интервалов в решении неравенств, примеры

Ответ:

    \[x \in ( - \infty ; - 3) \cup \left\{ 5 \right\} \cup (6;\infty ).\]

    \[8)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} > 0.\]

Поскольку неравенство — строгое, ни одну из точек в ответ не включаем:

решить неравенство методом интервалов

Ответ:

    \[x \in ( - \infty ; - 3) \cup (6;\infty ).\]

Следует заметить, что если бы мы решали квадратные уравнения, в которых дискриминант равен нулю, используя теорему Виета, то получили бы два одинаковых корня (то есть один и тот же корень встречается четное число раз). Если бы свернули квадратный трехчлен по формулам квадрата суммы или квадрата разности, то получили бы кратный корень четной степени. То есть, при любом подходе пришли бы к «петле».

2 комментария , 20 Окт 2013

2 комментария на «Метод интервалов. Примеры»

  1. Мила:
    17.02.2017 в 5:23 пп

    Спасибо. Помогли.

    Ответить

Ваш отзыв