Узнать ещё

Метод интервалов — универсальный метод решения неравенств. С его помощью можно решить неравенства самого разного вида. Рассмотрим алгоритм метода интервалов, а затем перейдем к примерам решения неравенств этим методом.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Прежде чем применить метод интервалов для решении неравенства, необходимо все дроби привести к наименьшему общему знаменателю и все слагаемые перенести в левую часть, чтобы справа остался нуль. Для начала рассмотрим алгоритм решения неравенств вида

   

1. Приравниваем к нулю левую часть:

   

(Таким образом мы находим нули функции

   

а также ее область определения).

2.Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

   

   

3. Полученные точки отмечаем на числовой прямой с учетом области определения функции. Точки разбивают числовую прямую на промежутки, в каждом из которых рассматриваемая функция имеет определенный знак. Выбираем любое число из любого промежутка (удобнее всего брать нуль, если он не входит в отмеченные точки), и подставляем это число в последнее неравенство (то есть в упрощенное неравенство, в котором все слагаемые стоят в левой части и дроби приведены к наименьшему общему знаменателю). В результате определяем знак на выбранном промежутке. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке.

4. «Петля»

1)Если есть кратный корень четной степени, то в нем — «петля»:

   

2) Если один и тот же корень встречается четное число раз, то в нем — «петля»:

   

так как корень x2 встречается четное количество раз (два раза).

3) Если дискриминант равен нулю, то в соответствующем корне x=-b/2a — «петля».

(В этом случае x₁=x₂, то есть один и тот же корень встретился два раза).

4) Если корень стоит под знаком модуля, а выражение с модулем является множителем (а не слагаемым!), то в таком корне — «петля»:

   

5. Выбираем промежутки с нужным знаком: если в неравенстве знак > или ≥, берем промежутки с «+»; если < или ≤ — с «-«.

Точки, в которых знаменатель обращается в нуль, всегда выколотые!!!

  В остальных случаях запомнить, выколотая точка или закрашенная, можно с помощью ассоциации.

Замечание

Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в решение:

   

(Знаки в «петлях» — «виртуальные». В этих точках функция обращается нуль либо не определена. «Петля» служит только для сохранения  порядка чередования знаков).

Кому принадлежит идея «петли», я не знаю. Этот способ очень удобный для расстановки знаков. Почему его нет в литературе? Именно потому, что знак в «петле»- «виртуальный».

Точки, которые мы отмечаем на числовой прямой, являются либо нулями функции, либо не входят в её область определения. Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом (он отделяет положительные числа от отрицательных). Ставя знак в «петлю», мы совершаем грубую ошибку.

Поэтому использовать «петлю» можно, но ставить в неё знак — нельзя. Предлагаю бороться с этим противоречием, либо поставить знак карандашом, а потом его стереть, либо ставить знак в черновик, но не переносить его в чистовик.

Далее рассмотрим различные примеры решения неравенств с помощью этого метода.