« »

Рубрика: Комбинации геометрических тел

Шар, вписанный в цилиндр

Шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра — по параллельной основаниям окружности большого круга (то есть радиус этой окружности равен радиусу шара).шар в цилиндре

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара.

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r:

R=r.

Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.

осевое сечение шара, вписанного в цилиндр

 

 

Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара:

H=2R

 

Найдем отношение объема цилиндра к объему вписанного в него шара. Объем шара

    \[{V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\]

Объем цилиндра

    \[{V_2} = \pi {r^2}H = \pi {R^2} \cdot 2R = 2\pi {R^3}.\]

Отсюда отношение объема шара к объему описанного около него цилиндра

    \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{2\pi {R^3}}} = \frac{2}{3}.\]

Теперь найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади вписанного шара. Площадь поверхности шара (площадь сферы)

    \[{S_1} = 4\pi {R^2}\]

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

    \[{S_2} = {S_{bok}} + 2{S_{ocn}} = 2\pi rH + 2\pi {r^2} = \]

    \[ = 2\pi R \cdot 2R + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2}.\]

Отсюда отношение площади поверхности вписанного шара к площади поверхности цилиндра

    \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{4\pi {R^2}}}{{6\pi {R^2}}} = \frac{2}{3}.\]

 

2 комментария , 24 Фев 2013

2 комментария на «Шар, вписанный в цилиндр»

  1. Пуся:
    17.01.2016 в 8:35 пп

    В цилиндр вписан шар. Расстояние между точками касания шара с боковой поверхностью и основанием цилиндра равно 2 корня из 2 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

    Ответить
    • Светлана Иванова:
      14.04.2016 в 12:20 пп

      Треугольник, вершины которого — центр шара и точки касания шара с боковой поверхностью и основанием цилиндра — прямоугольный равнобедренный. Катеты равны радиусу шара и цилиндра и половине высоты цилиндра, гипотенуза известна. Следовательно, R=H/2=2, H=4. Площадь полной поверхности цилиндра равна S=2πR(R+H)=2π∙2∙(2+4)=24π см².

      Ответить

Ваш отзыв