Узнать ещё

Рассмотрим примеры, в которых дан график функции, на котором отмечены точки. Нужно определить, в какой из этих точек значение производной наименьшее.

№1

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -3, 3 и 6. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе указать эту точку.

Решение:

Точка x=6 — точка минимума функции y=f(x), поэтому производная в этой точке обращается в нуль: f'(6)=0.

Точка x=-6 принадлежит промежутку возрастания функции, поэтому производная в этой точке принимает положительное значение: f'(-6)>0.

Точки x=-3 и x=3 принадлежат промежуткам убывания функции, поэтому в этих точках значения производной отрицательны: f'(-3)<0 и f'(3)<0.

Остаётся сравнить f'(-3) и f'(3).

1 способ

Читать полностью »

Рассмотрим задания, в которых дан график функции y=f(x), отмечены четыре точки и требуется определить, в какой из этих точек значение производной f'(x) наибольшее.

№1

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -4, -1, 2 и 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе указать эту точку.

Решение:

Точки x=-4 и x=2 принадлежат промежуткам возрастания функции y=f(x), поэтому производная f'(x) в этих точках принимает положительные значения:

f'(-4)>0 и f'(2)>0.

Точки x=-1 и x=4 принадлежат промежуткам убывания функции, поэтому значение производной в этих точках отрицательно:

Читать полностью »

Рассмотрим примеры, в которых дан график производной и требуется определить, в какой точке данного отрезка функция принимает наименьшее значение.

№1

На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-10;8). В какой точке отрезка [-8;-1] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

Выделяем отрезок [-8;-1].

На этом отрезке производная f'(x) принимает положительные значения.

Значит, на [-8;-1] функция f(x) возрастает, то есть бо́льшему значению аргумента соответствует бо́льшее значение функции:

x₁,x₂ ∈[-8;-1], x₂>x₁, ⇒ f(x₂)>f(x₁).

Следовательно, наименьшее значение f(x) принимает при Читать полностью »

Рассмотрим задания, в которых дан график производной функции и требуется найти, в какой точке данного отрезка эта функция принимает наибольшее значение.

№1

На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-14;8). В какой точке отрезка [-11;-8] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:

Выделяем отрезок [-11;-8].

На этом отрезке производная f'(x) принимает положительные значения.

Следовательно, функция f(x) на этом отрезке возрастает, то есть бо́льшему значению аргумента соответствует бо́льшее значение функции:

x₁,x₂ ∈[-11;-8], x₂>x₁, ⇒ f(x₂)>f(x₁).

Читать полностью »

Рассмотрим задания, в которых по данному графику производной функции y=f'(x)нужно найти промежутки возрастания функции y=f(x).

№1

На рисунке изображён график функции y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-12;9). Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответе указать длину наибольшего из них.

Решение:

На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная y=f'(x) положительна.

Выделяем промежутки, на которых производная принимает положительные значения (то есть график производной расположен выше оси Ox).

В данном примере таких промежутков два: (-11;-7) и (-2;8).  Так как в точках -11, -7, -2 и 8 существует производная f'(x), то функция f(x) непрерывна в этих точках. Поэтому эти точки можно включить в промежутки возрастания и убывания функции. Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутках [-11;-7] и [-2;8]. Они имеют длину 4 и 10 единичных отрезков.

Ответ: 10.

Читать полностью »

Рассмотрим задания, в которых требуется найти промежутки убывания функции по графику производной.

№1

На рисунке изображён график функции y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-5;16). Найти промежутки убывания функции f(x). В ответ указать длину наибольшего из них.

Решение:

На промежутках убывания функции y=f(x) её производная y=f'(x) отрицательна.

Выделяем промежутки, на которых производная y=f'(x) принимает отрицательные значения. В данном случае таких промежутком два: (-1;3) и (8;15). Так как в точках -1, 3, 8 и 15 существует производная f'(x), то функция f(x) непрерывна в этих точках. Поэтому эти точки можно включать в промежутки возрастания и убывания. Таким образом, функция y=f(x) убывает на промежутках [-1;3] и [8;15].

Длины этих промежутков равны четырём и семи единичным отрезкам.

Ответ: 7.

Читать полностью »