Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Рассмотрим общие случаи и конкретные примеры.
![\[I)\frac{a}{{b\sqrt c }}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3ad40d012cfc82d7726f9383a98e024_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из этого числа или выражения:
![\[\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{{a \cdot \sqrt c }}{{b\sqrt c \cdot \sqrt c }} = \frac{{a\sqrt c }}{{bc}}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-261a1159fe4af85f5db3e9d8aa3e141f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
![\[1)\frac{4}{{\sqrt {a + b} }};2)\frac{6}{{\sqrt 3 }};3)\frac{8}{{3\sqrt 2 }}.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97f7728f9e8193660b0674be6716de98_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
![\[1)\frac{4}{{\sqrt {a + b} }} = \frac{{4 \cdot \sqrt {a + b} }}{{\sqrt {a + b} \cdot \sqrt {a + b} }} = \frac{{4\sqrt {a + b} }}{{a + b}};\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fde68370e3b9869c404b00cdb783e039_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2)\frac{6}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6 \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 ;\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-255c8dfc0e747dad754d3a42610c2a10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\frac{8}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{8 \cdot \sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{8\sqrt 2 }}{{3 \cdot 2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-575265a019488a229c09768f1f30052f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В общем случае
![\[II)\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}}}}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6eae98a29d9199f9d565f74ae49fafe2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}}}} = \frac{{a \cdot \sqrt[n]{{{c^{n - k}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}} \cdot \sqrt[n]{{{c^{n - k}}}}}}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8078425dc0d9c5ad6c27d63468762012_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры:
![\[1)\frac{{20}}{{\sqrt[3]{5}}};2)\frac{6}{{\sqrt[5]{{27}}}};3)\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}}}}.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8a3a09ca06e061707d5e376ec26b8eea_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
![\[1)\frac{{20}}{{\sqrt[3]{5}}} = \frac{{20\cdot\sqrt[3]{{{5^2}}}}}{{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{{{5^2}}}}} = \frac{{20\sqrt[3]{{25}}}}{5} = 4\sqrt[3]{{25}};\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9df1798197bb48630b22fe85bcd2756_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2)\frac{6}{{\sqrt[5]{{27}}}} = \frac{6}{{\sqrt[5]{{{3^3}}}}} = \frac{{6 \cdot \sqrt[5]{{{3^2}}}}}{{\sqrt[5]{{{3^3}}} \cdot \sqrt[5]{{{3^2}}}}} = \frac{{6\sqrt[5]{9}}}{3} = 2\sqrt[5]{9};\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-126d41f104fee04361629ef5ef8f53c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}}}} = \frac{{{a^5} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}} = \frac{{{a^5} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}}{a} = {a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e590e7fc75711d110c0bf9d2fb6724c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный или кубический корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный радикал:
![\[III)\frac{a}{{\sqrt b + \sqrt c }} = \frac{{a(\sqrt b - \sqrt c )}}{{(\sqrt b + \sqrt c )(\sqrt b - \sqrt c )}} = \frac{{a(\sqrt b - \sqrt c )}}{{b - c}};\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c08c58d2834d55177ef643ba650d7908_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{a}{{\sqrt b - \sqrt c }} = \frac{{a(\sqrt b + \sqrt c )}}{{(\sqrt b - \sqrt c )(\sqrt b + \sqrt c )}} = \frac{{a(\sqrt b + \sqrt c )}}{{b - c}};\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d06f7294535e6d98994617c2a1dd2141_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{a}{{\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c}}} = \frac{{a(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}}{{(\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c})(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}} = \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c41aedf3c1d5b346f93626700f7dcd2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{a(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}}{{b \pm c}};\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-599e28a8c201f526b1f17ef6735c3c19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{a}{{\sqrt[3]{{{b^2}}} \pm \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}}} = \frac{{a(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}}{{(\sqrt[3]{{{b^2}}} \pm \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}} = \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-80bc6b0de916cc9054a41f2675c628c2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{a(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}}{{b \mp c}}.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2996362d6355c0439ee944020f74de6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
![\[1)\frac{{33}}{{\sqrt {17} - \sqrt 6 }};2)\frac{{21}}{{5 + \sqrt {18} }};3)\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }};\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a569ba8a04a0e0f3008d478e541f685_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[4)\frac{5}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4}}};5)\frac{7}{{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{25}}}}.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3eff311716fb440e4ee5b753a6a11439_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
![\[1)\frac{{33}}{{\sqrt {17} - \sqrt 6 }} = \frac{{33(\sqrt {17} + \sqrt 6 )}}{{(\sqrt {17} - \sqrt 6 )(\sqrt {17} + \sqrt 6 )}} = \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3fbb20015755d420606aa0e1c6126ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{33(\sqrt {17} + \sqrt 6 )}}{{17 - 6}} = \frac{{33(\sqrt {17} + \sqrt 6 )}}{{11}} = 3(\sqrt {17} + \sqrt 6 );\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1bed0b80e9ca65e99aa11ac32bdc4519_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2)\frac{{21}}{{5 + \sqrt {18} }} = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{{(5 + \sqrt {18} )(5 - \sqrt {18} )}} = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{{25 - 18}} = \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5e10a1adf14c72aac371f6f8c6a3645_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{7} = 3(5 - \sqrt {18} );\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e48e50a89efd0a2875b0f98b6a15f885_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{(5 - 2\sqrt 3 )(5 + 2\sqrt 3 )}} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{{5^2} - {{(2\sqrt 3 )}^2}}} = \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-049fb22cd1bdc1f84bd7b891a0d40472_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{25 - 12}} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{13}} = 2(5 + 2\sqrt 3 );\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16c157237e2d13c45ba2f4986e92fe19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[4)\frac{5}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4}}} = \frac{{5(\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9 \cdot 4}} + \sqrt[3]{{{4^2}}})}}{{(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9 \cdot 4}} + \sqrt[3]{{{4^2}}})}} = \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87fe258d58778e2f8fc5dcea22e60074_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{{{{(\sqrt[3]{9})}^3} - {{(\sqrt[3]{4})}^3}}} = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{{9 - 4}} = \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6af50b9966ef18c9afd06850b225d3a0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{5} = \sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}};\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d2492d6d2f2619c8e8f68940fd675f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[5)\frac{7}{{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{25}}}} = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{{(\sqrt[3]{{{2^2}}} - \sqrt[3]{{2 \cdot 5}} + \sqrt[3]{{{5^2}}})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}} = \]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8a6e9bd41888db2b7000553a59fa325_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{{{{(\sqrt[3]{2})}^3} + {{(\sqrt[3]{5})}^3}}} = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{7} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}.\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aae88e788061c342b25e3906164cc998_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Отличные объяснения заходите не пожалеете)
согласна с тобой =)
спасибо большое)) я все поняла) пробелы заполнены)советую другим заходить, все просто и элементарно) еще раз спасибо! =)
Большое спасибо! тему я плохо понимаю когда объясняют, а здесь сразу все понятно так бы и по и геометрии, мне ее хоть молотком в голову забивай все ровно не пойму ))
Максим, по геометрии очень важно знание теории.И нужно немного поработать на начальном этапе, чтобы научиться теорию применять. А дальше — уже полегче.
Спасибо ребят все просто и понятно прям глаз радуеться)
Все просто, доступно и понятно. Спасибо большое.
Спасибо, помогли 🙂
Хотя, к сожалению, нету случая подобия: «1 / (sqrt(2)+sqrt(5,3))» Не знаю как ещё написать на более просто языке, ведь символа корня нету)
[frac{1}{{sqrt 2 + sqrt {5,3} }} = frac{{1cdot(sqrt 2 — sqrt {5,3} )}}{{(sqrt 2 + sqrt {5,3} )cdot(sqrt 2 — sqrt {5,3} )}} = ][ = frac{{sqrt 2 — sqrt {5,3} }}{{{{(sqrt 2 )}^2} — {{(sqrt {5,3} )}^2}}} = frac{{sqrt 2 — sqrt {5,3} }}{{2 — 5,3}} = frac{{sqrt 2 — sqrt {5,3} }}{{ — 3,3}}]
А вот как мне быть если в знаменателе у меня (1+корень из 2+корень из 3) ?
[frac{1}{{1 + sqrt 2 + sqrt 3 }} = frac{{1 cdot ((1 + sqrt 2 ) — sqrt 3 )}}{{((1 + sqrt 2 ) + sqrt 3 ) cdot ((1 + sqrt 2 ) — sqrt 3 )}} = ][ = frac{{1 cdot ((1 + sqrt 2 ) — sqrt 3 )}}{{{{(1 + sqrt 2 )}^2} — {{(sqrt 3 )}^2}}} = frac{{1 + sqrt 2 + sqrt 3 }}{{1 + 2sqrt 2 + 2 — 3}} = ][ = frac{{1 + sqrt 2 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = frac{{(1 + sqrt 2 + sqrt 3 ) cdot sqrt 2 }}{{2sqrt 2 cdot sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 + 2 + sqrt 6 }}{4}.]
Отличный сайт!! Некоторые мелочи не поняла в школе, а сейчас точно прозрела)))
Ещё, будьте добры, поправьте первый пример после общего случая!) Квадрат упустили в числителе
Спасибо, Каришка!
Спасибо, помогли, я все понял))
Блин спасибо! Долгое время не мог понять эту внеземную тему! Спасибо, что помогли разобраться.
Спасибо большое, очень сильно помогли)))
Пожалуйста!)))
Хороший сайт!Очень помог разобраться!
Спасибо большое,очень помогли…)
Очень помогло!)спасибо)заболел и пропустил занятия:(
Иван, здоровья Вам и успехов в учёбе!
Спасибо, выручили. Отличный материал.
Хороший сайт, очень помог только вот нету решения где 3 квадратных корня в знаменателе например 1/(корень из 2+корень из5+корень из 7)
Попробую дописать при наличии времени. Но не обещаю, что это будет быстро.
День добрый! Помогите, пожалуйста! В знаменателе корень кубический из двух минус корень квадратный из двух. избавиться от иррациональности. Только идею! Решение не надо
Можно сначала избавиться от квадратного корня, домножив числитель и знаменатель на сумму корней, а затем — от кубического, домножив на неполный квадрат суммы.
Очень помогло, в учебнике по алгебре восьмого класса ничего не понял, полез в интернет, нашел эту статью и все сразу стало понятно, спасибо автору.
Реально всё понел спасибо
Спасибо большое реально помогло
Круто, спасибо!!