Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.
I. sin x =a
При │a│>1 это уравнение решений не имеет.
При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:
![\[x = {( - 1)^n}\arcsin a + \pi n,(n \in Z)\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-afa5e220d00b2dfad5e167095225088c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таблица арксинусов
![\[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}&0&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&1 \\ {\arcsin a}&{ - \frac{\pi }{2}}&{ - \frac{\pi }{3}}&{ - \frac{\pi }{4}}&{ - \frac{\pi }{6}}&0&{\frac{\pi }{6}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{2}} \end{array}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dddd0c1275fb0e70d61f82bcf54a9696_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\arcsin ( - a) = - \arcsin a\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e1b3c14f02fd7be613fa70ec7986f8a1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
II. cos x=a
При │a│>1 это уравнение решений не имеет.
При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:
![\[x = \pm \arccos a + 2\pi n,(n \in Z).\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea811d33f0b5c5702c4257d8c8029338_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таблица арккосинусов
![\[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}&0&{\frac{1}{2}}&{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&1 \\ {\arccos a}&\pi &{\frac{{5\pi }}{6}}&{\frac{{3\pi }}{4}}&{\frac{{2\pi }}{3}}&{\frac{\pi }{2}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{6}}&0 \end{array}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6205822282bdbc10f4182955ede6725_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\arccos ( - a) = \pi - \arccos a\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-23515b667c9c7ca80dea1b0ea4dfcd9d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Частные случаи синуса и косинуса:
III. tg x=a
Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.
![\[x = arctga + \pi n,(n \in Z).\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3e678a7de90e933e5879597654e902f4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таблица арктангенсов
![\[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - \sqrt 3 }&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 } \\ {arctga}&{ - \frac{\pi }{3}}&{ - \frac{\pi }{4}}&{ - \frac{\pi }{6}}&0&{\frac{\pi }{6}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{3}} \end{array}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4cd279b427e1eb10057343923bbc846_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[arctg( - a) = - arctga\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-200cb34e4f744acd92eb5ddbd06db977_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
IV. ctg x = a
Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.
![\[x = arcctga + \pi n,(n \in Z).\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0230b4cd13a6561f764c2aea4200dea0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таблица арккотангенсов
![\[\begin{array}{*{20}{c}} a&{ - \sqrt 3 }&{ - 1}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}&1&{\sqrt 3 } \\ {arcctga}&{\frac{{5\pi }}{6}}&{\frac{{3\pi }}{4}}&{\frac{{2\pi }}{3}}&{\frac{\pi }{2}}&{\frac{\pi }{3}}&{\frac{\pi }{4}}&{\frac{\pi }{6}} \end{array}\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ec4a8426257342cf6dbca07004c66a0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\operatorname{arcc} tg( - a) = \pi - \operatorname{arcc} tga\]](https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-232f2ca5ba57cbb36a0ec0689c4b1112_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Отличный сайт, спасибо, помог.
Спасибо за отличную оценку!
Я рада, что сайт Вам помог.
спасибо огромное !!!
Пожалуйста!) Успехов Вам в учебе!
Сайт действительно хороший =)
Интересно, просто, ясно.
Спасибо Вам, Светлана Иванова!
Ариша, спасибо за теплый отзыв!
Опечатка в таблице арккотангенсов )
А так все отлично, хорошая статья
Опечатку исправила. Спасибо!
Не силен в этих науках и школу прогуливал всегда!Жалею теперь об этом!Но вот беда ума не могу приложить что может значить arccos0,932 что это?с чем его едят ?И как его посчитать!Смотрю на выше написанное и не пойму как мне это применить!Помгите убогому!
Антон, разобраться в математике можно в любом возрасте, было бы желание. Но придется потрудиться (а где без этого?).
arccos 0,932 — это такое число из промежутка [0;П], косинус которого равен 0,932.
Можно открыть таблицу Брадиса и найти угол, косинус которого равен этому числу: [0,932 approx cos {21^o}]Далее, если требуется ответ представить в радианах, градусы переводим в радианы. [pi = {180^o}, Rightarrow {1^o} = frac{pi }{{180}},][{21^o} = 21 cdot frac{pi }{{180}} = frac{{7pi }}{{60}}.]Отсюда [arccos 0,932 approx frac{{7pi }}{{60}}.]
Если же arccos 0,932 появился в ходе решения тригонометрического уравнения — оставляйте его в таком виде.
Например:[cos x = 0,932][x = pm arccos 0,932 + 2pi n,n in Z.]Все, дальше ничего считать не надо (запись в таком виде — точное решение, а при нахождении арккосинуса ответ станет не точным, а приближенным. Поэтому его и не принято упрощать).
Светлана спасибо вам большое за помощь)Есть еще один вопросик я весь google перекопал. Какова единица измерения числа которое получается в результате вычисления cos или sin угла например sin47.376 градусов =0,735??какая единица измерения Arccos0,735=42.692???что это за величина и какая ее единица измерения?Голова дымит, а надо знать это,а то на работу не возьмут!
Косинус угла и синус угла — это просто число (в пределах от -1 до 1). Неважно, задан угол в градусах или в радианах.
Теперь — об арксинусах и арккосинусах. Если использовать таблицу Брадиса, arccos0,735 ищем как угол, косинус которого равен 0,735. [cos {42^o} approx 0,735]То есть Ваши 42.692, насколько я понимаю, градусы. Но в градусах значения арккосинуса и арксинуса не оставляют. Нужно перевести в радианы. [{42^o} = 42 cdot frac{pi }{{180}} = frac{{7pi }}{{30}}.]7П/30 радиан, радианы не пишут. Радианная мера позволяет от градусной меры угла перейти к числам, чтобы потом графики тригонометрических функций в декартовой системе координат строить можно было, например.
Спасибо вы целиком и полностью удовлетворили мой интерес!
Спасибо за шпору =), пошел сдавать
Удачи!)
Ещё о таблицах. Точнее их отсутствии…
на калькуляторе мы получаем cos, затем arccos. Верно ли я понимаю, что значения arccos вычисляются в радианной мере, и после этого следует обязательно перевести в градусную меру? (Таблицы Брадиса, также как и любые другие, идут уже (!) с перерасчетом радианов в градусы?!?) …но таблиц нет, к примеру. Некоторые on-line–научные калькуляторы имеют опцию переключения с градусов в радианы и/или наоборот; при этом по умолчанию может стоять опция (галочка) как радианной меры, так и градусной.
Вопрос: в каких случаях надобно переходить с радианов в градусы?
(функции MS Office Excel, например, предусматривают именно трёхстадийный процесс вычисления: cos, arccos, затем перевод радианов в градусы).
И ещё вопросик: Таблицы содержат значения синусов/косинусов только для острых углов в ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике?
Пример, имеется равносторонний треугольник (все стороны и углы равны), нам надо найти угол (мы его не знаем). Сторона (все три стороны равны) = 60 см. Т.е. поделив все [равные] стороны получим
sin = cos = tg = ctg = sec = cosec = 1
но по этому значению угол [каковой реально 60°] найти в таблицах невозможно?!? Спасибо!
Nick, прошу прощения, что затянула с ответом. Меня мучает совесть(
С калькулятором я практически не работаю, предпочитаю считать либо устно, либо письменно. Если нужно, пользуюсь таблицами Брадиса. Над нюансами вычислений с калькулятором не задумывалась.
Значения синуса и косинуса зависят только от угла, но не от вида треугольника. Мы вводим определение синуса в прямоугольном треугольнике как отношение противолежащего катета к гипотенузе, потом расширяем определение, называя синусом угла альфа ординату точки единичной окружности, полученной из точки (1;0) поворотом на угол альфа.
Синус угла в произвольном треугольнике можно найти посредством через теорему синусов, через площадь треугольника (из формулы S=1/2 ab sin α), или провести высоту и рассмотреть прямоугольный треугольник.
В таблице Брадиса значения тригонометрических функций даны только для острых углов. Для тупых углов значения находят с помошью формул приведения.
Объясните мне, пожалуйста, если п принадлежит Z, где п — , Z — .я не могу понять когда п четное, п — нечетное и что такое Z?
Тамара, семейство решений для общего случая уравнений sinx=a
можно разбить на два семейства решений:
1) при n=2k (то есть для чётных)
2) при n=2m+1 (то есть для нечётных)
Z — множество целых чисел, то есть 0; ±1; ±2; ±3; …
Страница интересная,но я не нашла частные случаи для тангенса и котангенса.Помогите пожалуйста(очень нужно
Евгения, формул частных случаем для тангенса и котангенса нет. Иногда частными случаями называют уравнения вида tgx=1; tgx=-1; ctgx=1; ctgx=-1, но общая формула верна и для каждого из этих случаев.